מאמר של פרופ' קנציפר ועמיתיו נבחר כ-"Editor’s Suggestion" בכתב העת היוקרתי PRL

מי לא מכיר סנוקר – משחק שנערך על גבי שולחן מוארך בצורת ביליארד? המאמר האחרון של פרופ' יוג'ין קנציפר מהפקולטה למדעים,  ועמיתיו – ד''ר רומן רייזר וד''ר ולדימיר אוסיפוב – אשר פורסם לאחרונה בכתב העת Physical Review Letters ונבחר כ"Editor’s Suggestion"-  עוסק בביליארדים – אך לא קלאסיים אלא קוונטיים.

 

 

 

מנקודת המבט של החוקרים – מתמטיקאים ופיזיקאים – ביליארד מהווה מערכת דינמית שבה חלקיק (כדור) נע בקו ישר ומוחזר ספקולארית מקיר ללא איבוד מהירות, כאשר זווית ההחזרה לאחר ההתנגשות שווה לזווית הפגיעה בקיר (חוק ההחזרה). אופי תנועת הכדור בביליארד נקבע על ידי חוק ההחזרה ועל ידי צורת הביליארד.

 

קיימים ביליארדים משני סוגים: מסודרים (רגולריים) וכאוטיים. לביליארד מסודר יש צורה מיוחדת, סימטרית במיוחד (כגון עיגול או ריבוע). אם עוקבים אחרי מסלול הכדור בביליארד מסודר, הוא נראה רגולרי לחלוטין. 

 

מסלול רגולרי בביליארד מסודר – ביליארד עגול	מסלול לא מסודר בביליארד כאוטי – ביליארד לבבי

 

 לעומת זאת, לביליארד כאוטי יש צורה עם סימטריה נמוכה יותר, אם בכלל (כגון ביליארד לבבי). במקרה זה, מסלול הכדור נראה כמסלול לא מסודר, וחלקיק נוטה לבקר באחידות כמעט בכל מקום בתוך הביליארד. כמו כן, אם נתבונן בשני כדורים עם הבדל קטן מאוד בכיווני וקטור המהירות, המרחק ביניהם יגדל מהר מאוד (אקספוננציאלית) בזמן. תכונות אלו הן סימן ההיכר המובהק של כאוס קלאסי.

 

מה יקרה אם נקטין את הביליארד עד כדי כך שהכדור יהפוך לחלקיק קוונטי (כגון אלקטרון) המתואר על ידי פונקציית גל? או, לחלופין, מה יקרה אם נחליף ביליארד החלקיקים בביליארד גלי (כגון microwave billiard)? האם ניתן לקבוע במקרים אלה – על ידי מדידות כאלו או אחרות – האם לביליארד קוונטי (או גלי) יש צורה מסודרת או כאוטית? זו אחת הבעיות המרכזיות בתחום של כאוס קוונטי. השאלה הנשאלת חשובה גם מהבחינה התיאורטית (הרי במכניקה הקוונטית, בגלל עקרון אי הוודאות של הייזנברג, הרעיון של מסלול החלקיק אינו מתאים) וגם מהבחינה היישומית – כי ננוטכנולוגיות מודרניות מאפשרות יצור ובקרה של ביליארדים קוונטיים. 

 

 

אחת הדרכים להבחין בין שני סוגי הביליארדים – מסודר או כאוטי – היא להתבונן בתכונות הסטטיסטיות של רמות האנרגיה של חלקיק קוונטי בביליארד. לפני כעשור התגלה – באמצעות סימולציות נומריות נרחבות – כי בביליארדים מסודרים רמות האנרגיה "מרעישות" כחלקיק קלאסי המבצע תנועה בראונית ("Brownian motion"). לעומת זאת, בביליארדים כאוטיים הרעש ברמות האנרגיה מצופה להתנהג בדומה לרעש לבן. עד כה, תוצאות הסימולציות לא קיבלו הסבר תיאורטי מספק.

במאמר של פרופ'  קנציפר ועמיתיו הוצגה תיאוריה מדויקת של רעשים ברמות האנרגיה בעזרת התיאוריה של מטריצות אקראיות.

 

הינה תקציר המאמר באנגלית:
(https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.118.204101)

 

 

We present a nonperturbative analysis of the power spectrum of energy level fluctuations in fully chaotic quantum structures. Focusing on systems with broken time-reversal symmetry, we employ a finite-N random matrix theory to derive an exact multidimensional integral representation of the power spectrum. The N→∞ limit of the exact solution furnishes the main result of this study—a universal, parameter-free prediction for the power spectrum expressed in terms of a fifth Painlevé transcendent. Extensive numerics lends further support to our theory which, as discussed at length, invalidates a traditional assumption that the power spectrum is merely determined by the spectral form factor of a quantum system.

 

 

המחקר בוצע בשיתוף פעולה עם ד''ר רומן רייזר (פוסטדוקטורנט במחלקה למתמטיקה במכון הטכנולוגי חולון) וד''ר ולדימיר אוסיפוב (חוקר במחלקה לפיסיקה כימית באוניברסיטת לונד, שוודיה, ופוסטדוקטורנט במחלקה למתמטיקה במכון הטכנולוגי בין השנים 2005-2008). המחקר ממומן על ידי הקרן הלאומית למדע במסגרת פרויקט רב שנתי "כאוס קוונטי בראי התיאוריה של מערכות אינטגרביליות" (ISF 647/12).
המאמר זכה ב פרס ראשון בקטגורית "מחקר" ב"יום המחקר והיצירה" ,שנערך לאחרונה בHIT.