פרדוקס הבקרה, הידוע גם כפרדוקס זמן ההמתנה המתועד בספרות המדעית לפני כמאה שנה (1922), הוא אולי הדוגמה הבולטת ביותר לתופעות מנוגדות אינטואיציה של אקראיות. לפי פרדוקס הבקרה, נוסע שמגיע לתחנת אוטובוס ברגע אקראי עלול, בממוצע, לחכות יותר (ולפעמים הרבה יותר!) ממחצית מהזמן הממוצע בין הגעת אוטובוסים עוקבים. המקור לתופעה "בלתי הגיונית" זאת נסתר בשתי עובדות: (1) תנועת אוטובוסים מושפעת משיבושים בלתי צפויים בכבישים וכתוצאה היא אינה דטרמיניסטית; (2) האקראיות בהגעת אוטובוסים לתחנה גורמת לכך שנוסע אשר מגיע לתחנה באקראי יגיע בסבירות גבוהה יותר בין אוטובוסים עוקבים שמרוחקים יותר אחד מהשני.
הסבר דומה חל על פרדוקס הסתברותי נוסף – פרדוקס החברות – שהתגלה בשנת 1991. הפרדוקס אשר מסוכם באמירה "בממוצע, לחברים שלך יש יותר חברים ממך", מאתגר את תפיסותיהם של אנשים רבים שנוטים להאמין כי יש להם יותר חברים מאשר לחברים שלהם. הפתרון של פרדוקס החברות נובע מהעובדה שאנשים עם הרבה חברים נוטים יותר להיות בין החברים שלך.
מבחינה מתמטית, לפרדוקס הבקרה ולפרדוקס החברות יש מקור זהה: הטיה מדגמית.
במאמר שפורסם בכתב העת PRL, פרופ' יוג'ין קנציפר ועמיתיו מביאים את פרדוקס הבקרה לעולם הקוונטי. הרעיון המרכזי הוא בהגדרת מדד ספקטרלי חדש – מרווחים לוקליים בין רמות האנרגיה של חלקיק קוונטי – אשר מקביל ספקטרלי לזמן בין הגעת אוטובוסים עוקבים, ראו הסבר באיור שלהלן. מהחקירה, שנעשתה באמצעות שימוש בתורה של מטריצות אקראיות, עולה כי – בדומה לפרדוקס הבקרה עבור זמני ההמתנה בעולם הקלאסי – המדד הספקטרלי החדש מראה גם הוא תכונות מנוגדות אינטואיציה. בין היתר, החוקרים הצליחו להראות כי ממוצעים של מרווחים לוקליים בין רמות האנרגיה מתוארים על ידי סדרות מספריות מיוחדות אשר מהוות "תביעות אצבע" המעידות על סימטריות וסוג האוניברסליות (מסודר או כאוטי) של מערכת קוונטית.
לצד דיון עיוני, החוקרים מספקים הוכחה ניסויית לרעיון זה באמצעות ניסוים נומריים שבוצעו באשכול מחשבים עם תפוקה גבוהה. בין המערכות שנבחנו – אפסים של פונקציית זטא של רימן (אשר מהווה הפרדיגמה של כאוס קוונטי), ספקטרום של ביליארד מלבני וספקטרום אקראי של המודל Sachdev-Ye-Kitaev שהפך למודל מרכזי בפיזיקה קוונטית של מערכות כאוטיות בעלות גופים רבים.
המחקר בוצע בשיתוף פעולה עם ד"ר פנג טיאן (Dr. Peng Tian) – עמית מחקר באוניברסיטת קוט ד'אזור בניס, צרפת (Université Côte d'Azur, Nice, France) ועם ד"ר רומן רייזר (Dr. Roman Riser) – עמית מחקר באוניברסיטת טקסס טק בלאבק, ארצות הברית (Texas Tech University, Lubbock, USA). בזמן ביצוע המחקר, שניהם היו פוסטדוקטורנטים בבית הספר למדעי המתמטיקה ב-H.I.T. המחקר נתמך על ידי הקרן הלאומית למדע במסגרת הפרויקט "פענוח רעשים בספקטרה של מערכות מורכבות: פרספקטיבה של תיאוריית מטריצות אקראיות" (מענק ISF-428/18).
Statistics of Local Level Spacings in Single- and Many-Body Quantum Chaos
We introduce a notion of local level spacings and study their statistics within a random-matrix-theory approach. In the limit of infinite-dimensional random matrices, we determine universal sequences of mean local spacings and of their ratios which uniquely identify the global symmetries of a quantum system and its internal—chaotic or regular—dynamics. These findings, which offer a new framework to monitor single- and many-body quantum systems, are corroborated by numerical experiments performed for zeros of the Riemann zeta function, spectra of irrational rectangular billiards, and many-body spectra of the Sachdev-Ye-Kitaev Hamiltonian
